LOGICA MATEMATICA

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
LOGICA PROPOSICIONAL
Clases de proposiciones
Hay dos clases de proposiciones:
  • Proposiciones simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente.
a. Proposiciones Simples.- También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo:
El cielo es azul. (verdadero)
Nomenclatura: p
b. Proposiciones Compuestas.- También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo:
Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.



Conectivas lógicas
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición molecular.
Conectivos lógicos más empleados son:

Negación

Es un elemento lógico que actúa independientemente de la proposición.
Se lee no p.
REGLA.- La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera.
Ejemplo:
p.- Juan conversa
-p.- Juan no conversa

 

Conjunción

Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “y”, “pero”, “también”, “sin embargo”, “además”, etc.
Se lee p y q.
REGLA.- Es verdadera la proposición conjuntiva únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas (p y q), en cualquier otro caso es falsa.
Ejemplo:
P: La casa está sucia.
Q: La empleada la limpia mañana
P Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana

Disyunción

Une proposiciones mediante el conectivo lógico “o”.
Se lee p o q.
REGLA.- Una proposición disyuntiva es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero. Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos (p o q).
P: Pedro juega básquet
Q: María juega fútbol
PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.

Conjunción Negativa

Es la unión de dos o más proposiciones por “ni”.
Se lee ni p ni q.
REGLA.- El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni q), en cualquier otro caso es falsa 




 

Disyunción Exclusiva

Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “o”.
Se lee o p o q, pero no ambos.
REGLA.- Es verdadera la proposición cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa o cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera. 

 

Condicional

Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”.
Se lee si p entonces q.
REGLA.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas
Ejemplo:
P:Si me saco la loteria
Q: Te regalaré un carro
P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.

Bicondicional

Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Se lee p si y sólo si q.
REGLA.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.
Ejemplo
P: Simón Bolivar vive
Q: Montalvo está muerto
P Q: Simón Bolivar vive si y solo si Montalvo está muerto.




EVALUACION DE ESQUEMAS POR TABLAS DE VERDAD
Para evaluar una tabla de verdad de n variables proposicionales se aplica la siguiente formula 2^n (filas). Se aplica la regla a cada una de las variables proposicionales empezando por el operador de de menor alcance hasta llegar al de mayor jerarquía.

Ejemplo 1:
Ejemplo 2: